Поменять порядок интегрирования в двойном интеграле

Покажем на конкретных примерах:
1) Как определить пределы интегрирования в двойном интеграле;
2) Как поменять порядок интегрирования в двойном интеграле;
3) Как изменить порядок интегрирования в двукратном интеграле

Пример 1. Определить пределы интегрирования интеграла

если область интегрирования S (рис.1) ограничена гиперболой $y^2-x^2=1 $ и двумя прямыми $x=2,x=-2″$ (имеется ввиду область содержащая начало координат)

Пример 2. Поменять порядок интегрирования

Пример 3. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

Для вычисления двойных интегралов имеется сервис решение двойных интегралов

интегралы — Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле

задан 28 Ноя ’13 19:26

Условие задачи невозможно понять из-за наличия посторонних символов. Постарайтесь переоформить, и тогда подскажем, что надо делать.

Каким, кстати, средством Вы пользовались при наборе формул?

инт(от -1 до 0)dy инт (от 2y-6 до 8y(в 3 степени))f(x,y)dx. Формулы набирала через Word.

В таком виде условие понятно, и сейчас я изложу решение.

Word’ом при наборе формул пользоваться не надо — он всё искажает (я теперь понял, откуда у многих такие «квадратики» и прочее). Лучше использовать встроенный редактор (ссылка есть на странице), или писать словами (на худой конец).

2 ответа

Если я правильно понял, именно такой интеграл рассматривается в условии.

Прежде всего, надо установить, по какой области идёт интегрирование. По переменной $%y$% оно идёт от $%-1$% до нуля, то есть $%-1le yle0$%. Интегрирование по $%x$% при каждом фиксированном $%y$% происходит от нижнего до верхнего предела внутреннего интеграла, то есть $%2y-6le xle8y^3$%.

Нарисуем теперь четыре линии, ограничивающие фигуру. Это $%y=-1$% и $%y=0$% (горизонтальные прямые), а также две линии $%x=2y-6$% и $%x=8y^3$%. В каждом из двух последних случаев удобно выразить $%y$% через $%x$%, после чего получаются уравнения $%y=frac2+3$% и $%y=frac>2$%. В таком виде оба графика легко изображаются.

Это интересно:  Всеобщая декларация прав человека характеристика

Прямая $%y=frac2+3$% и кубическая парабола $%y=frac2$% пересекаются в точке $%(-8;-1)$%, лежащей на прямой $%y=-1$%, а точками пересечения этих графиков с прямой $%y=0$% будут $%(-6;0)$% и $%(0;0)$% соответственно. Поэтому в пределах фигуры интегрирования, $%x$% будет меняться от $%-8$% до $%0$%. При этом для разных значений $%x$% нижняя граница фигуры будет описываться одним и тем же уравнением $%y=frac2$%, а для верхней границы возникает два случая. Поэтому интеграл разбивается в сумму двух (так нередко бывает при изменении порядка интегрирования), и в итоге получается $$intlimits_<-8>^<-6>dxintlimits_^f(x,y),dx+intlimits_<-6>^<0>dxintlimits_^<0>f(x,y),dx.$$

Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле

Если область D является простой , то для вычисления двойного интеграла применимы обе формулы (1.5) и (1.6) .Следовательно :

.

Это равенство показывает , что повторное интегрирование не зависит от порядка интегрирования .

Этим обстоятельством часто пользуются при вычислении двойных интегралов , выбирая ту из двух формул , которая приводит к более простым выкладкам .

Изменить порядок интегрирования в следующем интеграле :

.

Область интегрирования непосредственно не дана . Мы должны выяснить её вид по пределам повторных интегралов .Итак , по пределам повторных интегралов восстановим область D интегрирования .

Так как внутренний интеграл берётся по х , то пределы внутреннего интеграла показывают , какими линиями область D ограничена слева и справа .

Уравнения этих линий : Û (х –1) 2 + у 2 = 1; х =2 ; х= у

Приступим к изменению порядка интегрирования :

Этот пример показывает , как важно с самого начала продумать порядок интегрирования , т.е. предварительно следует посмотреть , для какой переменной лучше выбрать постоянные пределы интегрирования и выбрать тот способ . при котором двойной интеграл будет представлен меньшим числом повторного интеграла .

Пример 6.8.4. – Изменить порядок интегрирования в интеграле

Пример 6.8.5.Вычислить по области D , ограниченной линиями :

Это интересно:  Договор комиссии и агентский договор отличия

Переход от двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования. Переход к полярным координатам

Переход от двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования. Переход к полярным координатам
  1. Услуги проектирования
  2. Двойной интеграл
  3. Переход от двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования. Переход к полярным координатам

Переход от двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования. Переход к полярным координатам

Смысл этих задач — научиться быстро определять параметры $a,;b,;varphi _1 (x),;varphi _2 (x),;c,;d,;psi _1 (y),;psi _2 (y)$ < в декартовых координатах >и $varphi _0 ,;varphi _2 ,;r_1 (varphi ),;r_2 (varphi )$ < в полярных координатах >, необходимые для перехода от двойного интеграла к повторному.

Примеры:

Пусть область $D=left[< xleqslant 0,;yleqslant 0,;x^2+y^2leqslant 4 >right]cup left[< xgeqslant 0,;x^2+y^2leqslant -2y >right]$. Представить двойной интеграл по области $mathbf < textit < D >> $ в виде повторных. Перейти к полярным координатам. Решение:

Область изображена на рисунке. Для левой части $D-2leqslant xleqslant 0;quad -sqrt < 4-x^2 >leqslant yleqslant 0$; для правой — $0leqslant xleqslant 1,;-1-sqrt < 1-x^2 >leqslant yleqslant -1+sqrt < 1-x^2 >$ уравнение правой полуокружности после выделения полных квадратов принимает вид $x^2+(y+1)^2=1$, поэтому

Изменить порядок интегрирования, перейти к полярным координатам. $I=intlimits_ < -6 >^0 < dxintlimits_0^ < 2x+12 > < f(x,y)dy >> +intlimits_0^6 < dxintlimits_ < 2x >^ < 2x+12 > < f(x,y)dy >> +intlimits_6^ < 12 > < dxintlimits_ < 2x >^ < 24 > < f(x,y)dy >> $

Решение:

На рисунке изображена область и приведены уравнения прямых и обратных функций для линий, ограничивающих её. $mathbf < textit < D >> $ можно представить в виде $D=left[< 0leqslant yleqslant 24,;y/2-6leqslant xleqslant y/2 >right]$, поэтому $I=intlimits_0^ < 24 > < dyintlimits_ < y/2-6 >^ < y/2 > < f(x,y)dx >> $. В полярных координатах $mathbf < textit < D >> $ представляется как объединение двух треугольников $mathbf < textit < OCB >> $и $mathbf < textit < OBA >> $. Уравнение прямой $mathbf < textit < ОС >> $: $varphi =arctg2$ < можно получить и формально, перейдя к полярным координатам в её уравнении: $y=2xRightarrow quad rsin varphi =2rcos varphi Rightarrow tgvarphi =2$ >, прямой $mathbf < textit < ОВ >> $: $varphi =arctg4$, прямой $mathbf < textit < СВ >> $: $y=24Rightarrow rsin varphi =24Rightarrow quad r=24/sin varphi $, прямой $mathbf < textit < ОА >> $: $varphi =pi $, прямой $mathbf < textit < АВ >> $: $y=2x+12Rightarrow rsin varphi =2rcos varphi +12Rightarrow quad r=frac < 12 > < sin varphi -2cos varphi >$.

Это интересно:  Кадровое обеспечение деятельности судов

Вычислить двойной интеграл $iintlimits_ < D > < left( 6x < < y >^ < 2 >> -12 < < x >^ < 2 >> y right)dxdy > $, где область $D$ – квадрат со сторонами $x=0$, $x=1$, $y=2$, $y=3$. В повторном интеграле внутренний интеграл вначале вычислить по переменной $y$, а внешний – по $x$. Вычислить этот же интеграл, изменив порядок интегрирования.

Решение:

Вначале изобразим область интегрирования. Запишем заданный двойной интеграл через повторные: $iintlimits_ < D > < left( 6x < < y >^ < 2 >> -12 < < x >^ < 2 >> y right)dxdy > =intlimits_ < 0 >^ < 1 > < dx >intlimits_ < 2 >^ < 3 > < left( 6x < < y >^ < 2 >> -12 < < x >^ < 2 >> y right)dy > $.

Внутреннее < первое >интегрирование будем выполнять по переменной $y$ < при этом считаем, что $x$ – константа >, а внешнее < второе >– по переменной $x$:

$$=intlimits_ < 0 >^ < 1 > < 38xdx >-intlimits_ < 0 >^ < 1 > < 30 < < x >^ < 2 >> dx > =38intlimits_ < 0 >^ < 1 > < xdx >-30intlimits_ < 0 >^ < 1 > < < < x >^ < 2 >> dx > =38cdot left. frac < < < x >^ < 2 >> > < 2 >right

Помогла статья? Оцените её
1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars
Загрузка...
Добавить комментарий

Adblock
detector